题目内容

已知A,B,C是椭圆m:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2
3
,0),BC过椭圆m的中心,且
AC
BC
=0
,且|
BC
|=2|
AC
|.
(1)求椭圆m的方程;
(2)过点M(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且|
DP
|=|
DQ
|.求实数t的取值范围.
分析:(1)如图,精英家教网点A是椭圆m的右顶点,∴a=2
3
;由
AC
BC
=0,得AC⊥BC;由|
BC
|
=2|
AC
|
和椭圆的对称性,得|
AC
|
=|
OC
|
;这样,可以得出点C的坐标,把C点的坐标代入椭圆标准方程,可求得.
(2)如图,精英家教网过点M的直线l,与椭圆m交于两点P,Q;当斜率k=0时,点M在椭圆内,则-2<t<2;当k≠0时,设过M点的直线l:y=kx+t与椭圆方程组成方程组,消去y,可得关于x的一元二次方程,由判别式△>0,得不等式①,由x1+x2的值可得PQ的中点H坐标,由|
DP
|
=|
DQ
|
,得DH⊥PQ,所以斜率kDH=-
1
k
,这样得等式②;
由①②可得t的范围.
解答:解(1)如图所示,精英家教网
|
BC
|
=2|
AC
|
,且BC过点O(0,0),则|
OC
|=|
AC
|

又 
AC
BC
=0,∴∠OCA=90°,且A(2
3
,0),则点C(
3
3
)

由a=2
3
,可设椭圆的方程m:
x2
12
y2
12-c2
 =1

将C点坐标代入方程m,得
3
12
+
3
12-c2
=1
,解得c2=8,b2=4;
∴椭圆m的方程为:
x2
12
+
y2
4
=1

(2)如图所示,精英家教网
由题意,知D(0,-2),∵M(0,t),
∴1°当k=0时,显然-2<t<2,
   2°当k≠0时,设l:y=kx+t,则
x2
12
+
y2
4
=1
y=kx+t
,消去y,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0;
由△>0,可得t2<4+12k2
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),且PQ的中点为H(x0,y0);
则x0=
x1+x2
2
=-
3kt
1+3k2
,y0=kx0+t=
t
1+3k2
,∴H(-
3kt
1+3k2
t
1+3k2
)

|DP
|=
|DQ
|
,∴DH⊥PQ,则kDH=-
1
k
,∴
t
1+3k2
+2
-
3kt
1+3k2
-0
=-
1
k

∴t=1+3k2
∴t>1,将①代入②,得1<t<4,∴t的范围是(1,4);
综上,得t∈(-2,4).
点评:本题考查了直线与椭圆知识的综合应用,以及向量在解析几何中的应用;用数形结合的方法比较容易理清思路,解得结果.
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