题目内容
已知A,B,C是椭圆m:x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
3 |
AC |
BC |
BC |
AC |
(1)求椭圆m的方程;
(2)过点M(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆m交于两点P,Q,设D为椭圆m与y轴负半轴的交点,且|
DP |
DQ |
分析:(1)如图,点A是椭圆m的右顶点,∴a=2
;由
•
=0,得AC⊥BC;由|
|=2|
|和椭圆的对称性,得|
|=|
|;这样,可以得出点C的坐标,把C点的坐标代入椭圆标准方程,可求得.
(2)如图,过点M的直线l,与椭圆m交于两点P,Q;当斜率k=0时,点M在椭圆内,则-2<t<2;当k≠0时,设过M点的直线l:y=kx+t与椭圆方程组成方程组,消去y,可得关于x的一元二次方程,由判别式△>0,得不等式①,由x1+x2的值可得PQ的中点H坐标,由|
|=|
|,得DH⊥PQ,所以斜率kDH=-
,这样得等式②;
由①②可得t的范围.
3 |
AC |
BC |
BC |
AC |
AC |
OC |
(2)如图,过点M的直线l,与椭圆m交于两点P,Q;当斜率k=0时,点M在椭圆内,则-2<t<2;当k≠0时,设过M点的直线l:y=kx+t与椭圆方程组成方程组,消去y,可得关于x的一元二次方程,由判别式△>0,得不等式①,由x1+x2的值可得PQ的中点H坐标,由|
DP |
DQ |
1 |
k |
由①②可得t的范围.
解答:解(1)如图所示,
∵|
|=2|
|,且BC过点O(0,0),则|
|=|
|;
又
•
=0,∴∠OCA=90°,且A(2
,0),则点C(
,
),
由a=2
,可设椭圆的方程m:
+
=1;
将C点坐标代入方程m,得
+
=1,解得c2=8,b2=4;
∴椭圆m的方程为:
+
=1;
(2)如图所示,
由题意,知D(0,-2),∵M(0,t),
∴1°当k=0时,显然-2<t<2,
2°当k≠0时,设l:y=kx+t,则
,消去y,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0;
由△>0,可得t2<4+12k2 ①
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),且PQ的中点为H(x0,y0);
则x0=
=-
,y0=kx0+t=
,∴H(-
,
);
由
|=
|,∴DH⊥PQ,则kDH=-
,∴
=-
;
∴t=1+3k2 ②
∴t>1,将①代入②,得1<t<4,∴t的范围是(1,4);
综上,得t∈(-2,4).
∵|
BC |
AC |
OC |
AC |
又
AC |
BC |
3 |
3 |
3 |
由a=2
3 |
x2 |
12 |
y2 |
12-c2 |
将C点坐标代入方程m,得
3 |
12 |
3 |
12-c2 |
∴椭圆m的方程为:
x2 |
12 |
y2 |
4 |
(2)如图所示,
由题意,知D(0,-2),∵M(0,t),
∴1°当k=0时,显然-2<t<2,
2°当k≠0时,设l:y=kx+t,则
|
由△>0,可得t2<4+12k2 ①
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),且PQ的中点为H(x0,y0);
则x0=
x1+x2 |
2 |
3kt |
1+3k2 |
t |
1+3k2 |
3kt |
1+3k2 |
t |
1+3k2 |
由
|DP |
|DQ |
1 |
k |
| ||
-
|
1 |
k |
∴t=1+3k2 ②
∴t>1,将①代入②,得1<t<4,∴t的范围是(1,4);
综上,得t∈(-2,4).
点评:本题考查了直线与椭圆知识的综合应用,以及向量在解析几何中的应用;用数形结合的方法比较容易理清思路,解得结果.
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