题目内容
已知数列的前项和为,且满足,
(Ⅰ)求,, ,并猜想的表达式;
(Ⅱ)用数学归纳法证明所得的结论。
(Ⅰ)求,, ,并猜想的表达式;
(Ⅱ)用数学归纳法证明所得的结论。
(Ⅰ) a=, a=, a=,猜测 a=2-
(Ⅱ)证明见解析
(Ⅱ)证明见解析
(Ⅰ)a=, a=, a=, ---------3分
猜测 a=2- ---------------6分
(Ⅱ)①由(1)已得当n=1时,命题成立; --------8分
②假设n=k时,命题成立,即 a=2-,
当n=k+1时, a+ a+……a+a+a=2(k+1)+1, ----------10分
且a+ a+……+a=2k+1-a
∴2k+1-a+2 a=2(k+1)+1=2k+3,
∴2 a=2+2-, a=2-,
即当n=k+1时,命题成立. ----12分
根据①②得n∈N+ , an=2-都成立 -----13分
猜测 a=2- ---------------6分
(Ⅱ)①由(1)已得当n=1时,命题成立; --------8分
②假设n=k时,命题成立,即 a=2-,
当n=k+1时, a+ a+……a+a+a=2(k+1)+1, ----------10分
且a+ a+……+a=2k+1-a
∴2k+1-a+2 a=2(k+1)+1=2k+3,
∴2 a=2+2-, a=2-,
即当n=k+1时,命题成立. ----12分
根据①②得n∈N+ , an=2-都成立 -----13分
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