题目内容
(本小题满分12分)已知抛物线的准线方程,与直线在第一象限相交于点,过作的切线,过作的垂线交x轴正半轴于点,过作的平行线交抛物线于第一象限内的点,过作抛物线的切线,过作的垂线交x轴正半轴于点,…,依此类推,在x轴上形成一点列,,,…,,设点的坐标为
(Ⅰ)试探求关于的递推关系式; (Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:.
(Ⅰ)试探求关于的递推关系式; (Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:.
(Ⅰ) (Ⅱ) 见解析 (Ⅲ)见解析
(I)由题意知: (1分)
由题意知联立得:,.
(3分)
切线的斜率为,直线的斜率,
直线的方程为
令,得: (5分)
(Ⅱ)由已知易得,直线的斜率,
直线的方程为:令得 (7分)
(9分)
当时,即:
当时, 故(11分)(用数学归纳法证明亦可)
(III)由(II)知:.
. (12分)
由题意知联立得:,.
(3分)
切线的斜率为,直线的斜率,
直线的方程为
令,得: (5分)
(Ⅱ)由已知易得,直线的斜率,
直线的方程为:令得 (7分)
(9分)
当时,即:
当时, 故(11分)(用数学归纳法证明亦可)
(III)由(II)知:.
. (12分)
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