Question

15．如图（甲），等腰直角三角形的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于点E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（乙））
（Ⅰ）求证：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，PD=$\sqrt{2}$，求四棱锥P-DEBC的体积．

Answer 1

分析 （I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；
（II）证明PE⊥平面DEBC，PE是四棱锥P-DEBC的高，求出DEBC的面积，即可求四棱锥P-DEBC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；
（Ⅱ）解：∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE∩BE=E，
∴PE⊥平面DEBC，
∴PE是四棱锥P-DEBC的高．
在等腰直角三角形PED中，由PD=$\sqrt{2}$，可得PE=1，
∴在等腰直角三角形AED中，AE=DE=1，S_△AED=$\frac{1}{2}×DE×AE$=$\frac{1}{2}$，
在等腰直角三角形ACB中，过C作CM⊥AB于M，则CM=2，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×AB×CM$=4，∴S_DEBC=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴V_P-DEBC=$\frac{1}{3}×\frac{7}{2}×1$=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查求四棱锥P-DEBC的体积，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．