题目内容
14．在数列{an}中，已知a1=2，an+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，求论证{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．分析 根据递推关系是求解得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{{a}_{n}}$-1]，运用等比数列定义$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1}{2}$=常数．可判断求解．
解答 解：∵an+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，a1=2，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{{a}_{n}}$-1]，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1}{2}$=常数．
{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$-\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=（$-\frac{1}{2}$）×（$\frac{1}{2}$）n-1=-（$\frac{1}{2}$）n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
即an=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$
点评 本题利用数列的递推关系是求解转化为等比数列求解通项公式，属于容易题，关键是恒等变形得出需要的条件．
练习册系列答案
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9．下列命题中，不正确的是（ ）
| A． | $|\overrightarrow a|=\sqrt{{{（\overrightarrow a）}^2}}$ | B． | λ（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）=$\overrightarrow a$•（λ$\overrightarrow b$） | C． | （$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$-$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$ | D． | $\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$共线?$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=$|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|$ |
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=4sin（$\frac{π}{6}$x-$\frac{2π}{3}$）．
