题目内容
若f（x）=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ是偶函数，θ为常数，且f（x）的最小值是0．（1）求tanθ的值；
（2）求f（x）的最大值及此时x的集合．
【答案】分析：（1）利用偶函数的定义f（-x）=f（x）即可得出；
（2）利用同角三角函数基本关系式即可得出sinθ与cosθ，进而得到函数f（x）的解析式即可．
解答：解：（1）∵函数f（x）是偶函数，
∴?x∈R，都有f（-x）=f（x），化为（tanθ-2）sinx=0，解得tanθ=2．
（2）由
解得
或
此时，f（x）=sinθ（cosx-1）．
当
时，f（x）=
，最大值为0，不合题意，舍去；
当
时，f（x）=
最小值为0．
当cosx=-1时，f（x）有最大值为
，自变量x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}．
点评：熟练掌握偶函数的性质、三角函数基本关系式、三角函数的单调性等是解题的关键．
（2）利用同角三角函数基本关系式即可得出sinθ与cosθ，进而得到函数f（x）的解析式即可．
解答：解：（1）∵函数f（x）是偶函数，
∴?x∈R，都有f（-x）=f（x），化为（tanθ-2）sinx=0，解得tanθ=2．
（2）由
解得或此时，f（x）=sinθ（cosx-1）．
当
时，f（x）=，最大值为0，不合题意，舍去；当
时，f（x）=最小值为0．当cosx=-1时，f（x）有最大值为
，自变量x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}．点评：熟练掌握偶函数的性质、三角函数基本关系式、三角函数的单调性等是解题的关键．
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