题目内容

给出下列五个命题：
①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则?=2kπ+
π
2
，k∈Z；
②函数f(x)=cos2x-2
3
sinxcosx在区间[-
π
6
，
π
3
]上是单调递增；
③已知a，b∈R，则“a＞b＞0”是“(
1
2
)a＜(
1
2
)b”的充分不必要条件；
④若xlog34=1，则4x+4-x=
10
3
；
⑤在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC必为锐角三角形．
其中正确命题的序号是
 
（写出所有正确命题的序号）．
分析：①由偶函数的性质可得对称轴为y轴且该点取得函数的最值，则f（0）=±1，代入可求φ
②利用辅助角公式化简可得，函数f(x)=cos2x-2
3
sinxcosx=cos（2x+
π
3
）利用余弦函数的单调性判断
③结合指数函数y=(
1
2
)x的单调性及定义域判断
④由xlog34=1?x=log43，代入求解即可
⑤由三角形的内角和定理可知，三角形的内角最多有一个钝角，故可设A，B为锐角，tanA＞0，tanB＞0
利用内角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0?tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用两角和的正切公式展开整理可得tanAtanB＞1，则可得tanA＞cotB=tan（(
π
2
-B)，则有A＞
1
2
π-B，所以有A+B＞
π
2
，从而可得C＜
π
2
解答：解：①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则由偶函数的性质可得对称轴为y轴且该点取得函数的最值，则f（0）=±1，代入可得，φ=kπ+
π
2
，k∈Z故①错误
②函数f(x)=cos2x-2
3
sinxcosx=cos2x-
3
sin2x=2cos(2x+
π
3
)，在区间[-
π
6
，
π
3
]上是单调递减，故②错误
③a＞b＞0?(
1
2
)a＜(
1
2
)b，但由(
1
2
)a＜(
1
2
)b只可得a＞b，即a＞b＞0是(
1
2
)a＜(
1
2
)b的充分不必要条件，故③正确
④由xlog34=1?x=log43，则4x+4-x=4log43+
1
4log43
=3+
1
3
=
10
3
，故④正确
⑤由三角形的内角和定理可知，三角形的内角最多有一个钝角，故可设A，B为锐角，tanA＞0，tanB＞0
利用内角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0?tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用两角和的正切公式展开整理可得tanAtanB＞1，则可得tanA＞cotB=tan（(
π
2
-B)，则有A＞
1
2
π-B，所以有A+B＞
π
2
，从而可得C＜
π
2
故⑤正确
故答案为：③④⑤
点评：本题综合考查了正弦函数的奇偶性，三角函数的辅助角公式的运用，指数函数的定义域、单调性及特殊点的应用，对数的换底公式及指数的基本运算，
练习册系列答案
相关题目
给出下列五个命题：
①在三角形ABC中，若A＞B则sinA＞sinB；
②若数列{bn}的前n项和Sn=n2+2n+1．则数列{bn}从第二项起成等差数列；
③已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＞S8则S9＞S8；
④已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5=5a3则
S9S5
=9；
⑤若{an}是等比数列，且Sn=3n+1+r，则r=-1；
其中正确命题的序号为：
①②④
①②④
．
给出下列五个命题：
①若4a=3，log45=b，则log4
95
=a2-b；
②函数f(x)=0.51+2x-x2的单调递减区间是[1，+∞）；
③m≥-1，则函数y=lg（x2-2x-m）的值域为R；
④若映射f：A→B为单调函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
⑤函数y=ex的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则f（e3）=3．
其中正确的命题是
③④⑤
③④⑤
（把你认为正确的命题序号都填在横线上）
给出下列五个命题：其中正确的命题有
②③⑤
②③⑤
（填序号）．
①若
a
•
b
=0，则一定有
a
⊥
b
；  ②?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
③?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=a1-2x+1都恒过定点(
1
2
，2)；
④方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F≥0；
⑤若存在有序实数对（x，y），使得
OP
=x
OA
+y
OB
，则O，P，A，B四点共面．
（2010•上海模拟）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：
①若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；
②若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；
③若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；
④若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；
⑤若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；
其中正确命题的个数为（　　）
给出下列五个命题：其中正确的命题有
②③④
②③④
（填序号）．
①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积S=
∫
π
-π
sinxdx；
②
C
r+1
n+1
=
C
r+1
n
+
C
r
n
；
③在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和；
④i+i2+i3+…i2012=0；
⑤用数学归纳法证明不等式
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
＞
13
24
，(n≥2，n∈N*)的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立时，只需证明
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+
1
2(k+1)
＞
13
24
即可．

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