题目内容

【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,M,N,P分别为AB,A1C1 , BC的中点.
求证:
(1)C1P∥平面MNC;
(2)平面MNC⊥平面ABB1A1

【答案】
(1)证明:连接MP,因为M、P分别为AB,BC的中点

∵MP∥AC,MP=

又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∴AC∥A1C1,AC=A1C1

且N是A1C1的中点,∴MP∥C1N,MP=C1N

∴四边形MPC1N是平行四边形,∴C1P∥MN

∵C1P面MNC,MN面MNC,∴C1P∥平面MNC;


(2)证明:在△ABC中,CA=CB,M为AB的中点,∴CM⊥AB.

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1B⊥面ABC.

∵CM面ABC,∴BB1⊥CM

由因为BB1∩AB=B,BB1,AB平面面ABB1A1

又CM平面MNC,

∴平面MNC⊥平面ABB1A1


【解析】(1)连接MP,只需证明四边形MPC1N是平行四边形,即可得MN∥C1P∵C1P,即可证得C1P∥平面MNC;(2)只需证明CM⊥平面MNC,即可得平面MNC⊥平面ABB1A1

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