Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=$\frac{2}{b}$，则△ABC的形状为等边三角形．

Answer 1

分析 首先利用基本不等式将关于边的等式变形得到b²≤ac，在结合余弦定理得到三边的关系，利用前面的关系得到（a-c）²=0，从而得到a=c．

解答 解：因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=$\frac{2}{b}$=$\frac{a+c}{ac}$$≥\frac{2\sqrt{ac}}{ac}=\frac{2}{\sqrt{ac}}$，所以b$≤\sqrt{ac}$，所以b²≤ac，
又B=$\frac{π}{3}$，得到b²=a²+c²-2accos$\frac{π}{3}$≤ac，即a²+c²-2ac≤0，分解得（a-c）²≤0，所以a=c，
所以△ABC是等边三角形；
故答案为：等边三角形．

点评 本题考查了解三角形；用到了基本不等式余弦定理；解答本题的关键是由边的等式得到b²≤ac．