Question

如图，P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁对角线AC₁上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为f（x）=

1

2

BD×PO，再在在三角形PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f（x）的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．

解答：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，
故△PBD的面积为f（x）=

1

2

BD×PO，
在三角形PAO中，PO=

PA2+AO2-2PA×AOcos∠PAO

=

x2+ 1 2 -2x× 2 2 × 2 3

，
∴f（x）=

1

2

×

2

×

x2+ 1 2 -2x× 2 2 × 2 3

=

2

2

x2- 2 3 x+ 1 2

，
画出其图象，如图所示，
对照选项，A正确．
故选A．

点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．