Question

已知点P是圆C：x²+y²=1外一点，设k₁，k₂分别是过点P的圆C两条切线的斜率．
（1）若点P坐标为（2，2），求k₁•k₂的值；
（2）若k₁•k₂=-1求点P的轨迹M的方程．

Answer 1

分析：（1）设过点P的切线斜率为k，由P的坐标表示出切线方程，由此直线与圆相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，利用韦达定理即可求出两根之积k₁•k₂的值；
（2）设点P坐标为（x₀，y₀），由两切线斜率的乘积为-1得到两切线垂直，|OP|的距离为半径的

2

倍，利用两点间的距离公式即可表示出M的方程．

解答：解：（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，
其与圆相切可得

|2k-2|

k2+1

=1，
化简得3k²-8k+3=0，
∵k₁，k₂就是此方程的根，
∴k₁•k₂=1；
（2）设点P坐标为（x₀，y₀），
∵k₁•k₂=-1，
∴两条切线垂直，
∴|OP|=

2

，即x₀²+y₀²=2，
则所求的曲线M的方程为圆x²+y²=2．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点间的距离公式，直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，是一道中档题．