题目内容
【题目】如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE和AD的交点,AC⊥BC,且AC=BC.
(Ⅰ)求证:AM⊥平面EBC;
(Ⅱ)求二面角A﹣EB﹣C的大小.
【答案】解:方法一:几何法:
(Ⅰ)证明:∵四边形ACDE是正方形,∴AM⊥EC,
又∵平面ACDE⊥平面ABC,∴AC⊥BC,
∴BC⊥平面EAC,
∵BC平面EAC,∴BC⊥AM,
又∵EC∩BC=C,∴AM⊥平面EBC.
(Ⅱ)解:过A作AH⊥EB于H,连结HM,
∵AM⊥平面EBC,∴AM⊥EB,∴EB⊥平面AHM,
∴∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角,
∵平面ACDE⊥平面ABC,∴EA⊥平面ABC,∴EA⊥AB,
在Rt△EAB中,AH⊥EB,有AEAB=EBAH,
设EA=AC=BC=2a,得,AB=2 a,EB=2 a,∴ = ,
∴sin = ,∴∠AHM=60°.
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°.
方法二:向量法
(Ⅰ)证明:∵四边形ACDE是正方形,∴EA⊥AC,
∵平面ACDE⊥平面ABC,EA⊥平面ABC,
∴以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,
分别以直线AC和AE为y轴和z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,
设EA=AC=BC=2,则A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),
M是正方形ACDE的对角线的交点,M(0,1,1),
=(0,1,1), =(0,2,﹣2), ,
∴ ,∴AM⊥EC,AM⊥BC,
又EC∩BC=C,∴AM⊥平面EBC.
(Ⅱ)设平面EAB的法向量为 ,则 ,
∴ ,取y=﹣1,则x=1,则 =(1,﹣1,0),
又∵ 为平面EBC的一个法向量,
∴cos< >= =﹣ ,
设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ,则cosθ=|cos< >|= ,∴θ=60°,
∴二面角A﹣EB﹣C等于60°.
【解析】几何法:(Ⅰ)由已知得AM⊥EC,AC⊥BC,由此能证明AM⊥平面EBC.(Ⅱ)过A作AH⊥EB于H,连结HM,由已知得∠AHM是二面角A﹣EB﹣C的平面角,由此能求出二面角A﹣EB﹣C的大小. 向量法:(Ⅰ)以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以直线AC和AE为y轴和z轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能证明AM⊥平面EBC.(2)求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量,利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.