题目内容
14.已知函数f(x)=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$(x∈R,e=2.71828…)(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)证明函数f(x)在R上是增函数;
(3)是否存在实数k,使不等式f(x-k)+f(x2-k2)≥0对任意x∈R恒成立,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
分析 (1)求f(-x)=-f(x),从而说明f(x)为R上的奇函数;
(2)根据增函数的定义,设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,然后作差,通分,提取公因式,证明f(x1)<f(x2),便可得出f(x)在R上单调递增;
(3)根据f(x)为奇函数且在R为增函数,便可由f(x-k)+f(x2-k2)≥0恒成立得到x-k≥k2-x2恒成立,即x2+x-k2-k≥0恒成立,从而有△≤0,这样即可得出k的值.
解答 解:(1)$f(-x)=\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{2}=-f(x)$;
∴f(x)为奇函数;
(2)证明:设x1<x2,则:$f({x}_{1})-f({x}_{2})=\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{-{x}_{1}}}{2}-\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{-{x}_{2}}}{2}$=$\frac{({e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}})(1+\frac{1}{{e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}})}{2}$;
∵x1<x2;
∴${e}^{{x}_{1}}<{e}^{{x}_{2}}$,${e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}<0$;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在R上是增函数;
(3)∵f(x)为奇函数,且在R上为增函数;
∴由f(x-k)+f(x2-k2)≥0得,f(x-k)≥f(k2-x2);
∴x-k≥k2-x2;
∴x2+x-k2-k≥0在R上恒成立;
∴△=1+4(k2+k)≤0;
∴(2k+1)2≤0;
∴2k+1=0;
∴$k=-\frac{1}{2}$;
即存在实数k=$-\frac{1}{2}$,使f(x-k)+f(x2-k2)≥0恒成立.
点评 考查奇函数的定义,增函数的定义,以及根据增函数定义证明一个函数为增函数的方法和过程,作差的方法比较f(x1)与f(x2),作差后为分式的一般要通分,一般要提取公因式,指数函数的单调性,一元二次不等式恒成立时判别式△的取值情况.
A. | 0 | B. | π | C. | π2 | D. | 4 |
A. | $\sqrt{ab}m$ | B. | $\frac{a+b}{2}m$ | C. | am | D. | bm |
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |