题目内容

16.已知平面α截一球O得圆M,圆M的半径为r,圆M上两点A、B间的弧长为$\frac{πr}{2}$,又球心O到平面α的距离为r,则A、B两点间的球面距离为$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$.

分析 先利用球面上两点A、B与球心O所构成的△AOB为正三角形得出球心角的大小,再直接求扇形OAB的弧长,就是A、B两点间的球面距离.

解答 解:由题意可知A、B两点间的球面距离:就是扇形OAB的劣弧的长,
因为圆M上两点A、B间的弧长为$\frac{πr}{2}$,所以∠AMB=$\frac{π}{2}$,
因为圆M的半径为r,球心O到平面α的距离为r,所以AB=OA=OB=$\sqrt{2}$r
因球面上两点A、B与球心O所构成的△AOB为正三角形,
故$∠AOB=\frac{π}{3}$,
则A、B两点间的球面距离是l=$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$.
故答案为:$\frac{{\sqrt{2}πr}}{3}$.

点评 本题考查球面距离,考查了正三角形的性质,弧长公式等基础知识,是基础题.

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