题目内容

(本小题12分)已知函数为常数)是实数集上的奇函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.

(I)求的值;

(II)若所在的取值范围上恒成立,求的取值范围;

(Ⅲ)讨论关于的方程的根的个数.

 

【答案】

(I)=0

(II)

(Ⅲ)①当时,方程无解.

    ②当时,方程有一个根.

    ③当时,方程有两个根.

【解析】解:(Ⅰ)是奇函数,则恒成立.

    ∴

    即

    ∴

(II)由(I)知

    ∴

    又在[-1,1]上单调递减,

    ∴

    且[-1,1]恒成立,

    即[-1,1]恒成立,

    ∴

    ∵ 在上恒成立

    ∴

    即恒成立

    令

 
  ,

   

(Ⅲ)由(I)知

    令

   

    当上为增函数;

    上为减函数,

    当时, 而

    在同一坐标系的大致图象如图所示,

    ∴①当时,方程无解.

    ②当时,方程有一个根.

    ③当时,方程有两个根.

 

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