题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆
:
与
轴的正半轴交于点
,以点
为圆心的圆
:
与圆
交于
,
两点.
(1)当时,求
的长;
(2)当变化时,求
的最小值;
(3)过点的直线
与圆A切于点
,与圆
分别交于点
,
,若点
是
的中点,试求直线
的方程.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】分析:(1)根据半径,得到圆A的标准方程;因为B、C是两个圆的交点,联立两个圆可得到两个交点坐标,利用两点间距离公式即可求得BC的长。
(2)根据圆A关于x轴对称,可设,代入到圆O中,用
表示
;根据向量数量积的坐标运算,得到
,根据
的取值范围即可得到
的最小值。
(3)取的中点
,连结
,可知
与
相似,根据中点性质和勾股定理,在
和
中,联立方程求得r的值;设出直线方程,根据点到直线距离公式即可求出直线方程。
详解:(1)当 时,
由 得,
(2)由对称性,设,则
所以
因为,所以当
时,
的最小值为
(3)取的中点
,连结
,则
则,从而
,不妨记
,
在中
即
①
在中
即
②
由①②解得
由题直线的斜率不为0,可设直线
的方程为:
,由点A到直线
的距离等于
则,所以
,从而直线
的方程为
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