Question

【题目】已知函数（常数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若曲线与直线相切，证明： .

Answer 1

【答案】(1) 的单增区间为，单减区间为;(2)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出， 得增区间， 得减区间；（Ⅱ）设曲线与直线的切点为，由，可得， ，其中，利用导数研究函数的单调性可得，即.

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为， .

令，则，故单增.

又，所以

当时， ，因而， 单增，即的单增区间为；

当时， ，因而， 单减，即的单减区间为.

（Ⅱ）证明：设曲线与直线的切点为，

因为，所以，即.

因为直线经过切点，所以，

于是，有，即.

令，则，故单增，

又， ，

所以有唯一零点，且.

再令，其中，

则，故单减，

所以，即.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.