Question

对于数列{a_n}，如果存在最小的一个常数T（T∈N^*），使得对任意的正整数恒有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}是周期为T的周期数列．设m=qT+r，（m，q，T，r∈N^*），数列前m，T，r项的和分别记为S_m，S_T，S_r，则S_m，S_T，S_r三者的关系式________．

Answer 1

S_m=qS_T+S_r
分析：根据数列{a_n}是周期为T的周期数列，m=qT+r，可得S_m=（a₁+a₂+…+a_T）+（a_1+T+a_2+T+…+a_2T）+…+（a_1+（q-1）T+a_2+（q-1）T+…+a_qT）+（a_1+qT+a_2+qT+…+a_r+（q+1）T），从而可得结论．
解答：∵数列{a_n}是周期为T的周期数列，m=qT+r，
∴S_m=（a₁+a₂+…+a_T）+（a_1+T+a_2+T+…+a_2T）+…+（a_1+（q-1）T+a_2+（q-1）T+…+a_qT）+（a_1+qT+a_2+qT+…+a_r+（q+1）T）=qS_T+S_r
∴S_m=qS_T+S_r，
故答案为：S_m=qS_T+S_r
点评：本题考查周期数列，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是理解周期数列的定义．