题目内容

对于数列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改变A1，仅改变A2，A3，…，An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{an}为数列{
1
2n
}(n∈N*)的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和．
（1）写出S3的所有可能值；
（2）若生成数列{an}的通项公式为an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N，求Sn；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的n∈N*，Sn的所有可能值组成的集合为：{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．
分析：（1）依题意，可得a2=±
1
4
，a3=±
1
8
，从而可求得S3的所有可能值；
（2）利用an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N，分n=3k、n=3k+1与n=3k+2（k∈N*）讨论，利用分组求和与等比数列的求和公式即可求得Sn；
（3）利用数学归纳法，①当n=1时，易证命题成立；②假设n=k时命题成立，去证明n=k+1时命题也成立即可．
解答：（1）由已知，a1=
1
2
，|an|=
1
2n
（n∈N*，n≥2），
∴a2=±
1
4
，a3=±
1
8
，
由于
1
2
+
1
4
+
1
8
=
7
8
，
1
2
+
1
4
-
1
8
=
5
8
，
1
2
-
1
4
+
1
8
=
3
8
，
1
2
-
1
4
-
1
8
=
1
8

∴S3可能值为
1
8
，
3
8
，
5
8
，
7
8
．
（2）∵an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N
∴n=3k（k∈N*）时，Sn=（
1
21
-
1
22
-
1
23
）+（
1
24
-
1
25
-
1
26
）+…+（
1
23k-2
-
1
23k-1
-
1
23k
）
=（
1
21
+
1
24
+…+
1
23k-2
）-（
1
22
+
1
25
+…+
1
23k-1
）-（
1
23
+
1
26
+
1
23k
）
=
1
2
[1-(
1
23
)k]
1-
1
23
-
1
22
[1-(
1
23
)k]
1-
1
23
-
1
23
[1-(
1
23
)k]
1-
1
23

=
8
7
[1-(
1
8
)k]（
1
2
-
1
4
-
1
8
）
=
1
7
[1-(
1
2
)n]；
n=3k+1（k∈N）时，Sn=Sn-1+an=
1
7
[1-(
1
2
)n]+
1
2n
=
1
7
[1+5(
1
2
)n]；
n=3k+2（k∈N）时，Sn=Sn+1-an+1=
1
7
[1-(
1
2
)n+1]+
1
2n+1
=
1
7
[1+3(
1
2
)n]；
∴Sn=
1
7
(1-
1
2n
)，n=3k
1
7
(1+
5
2n
)，n=3k+1
1
7
(1+
3
2n
)，n=3k+2
(k∈N)．
（3）①n=1时，S1=
1
2
，命题成立．             
②假设n=k（k≥1）时命题成立，即Sk所有可能值集合为：{x|x=
2m-1
2k
，m∈N*，m≤2k-1}
由假设，Sk=
2m-1
2k
（m∈N*，m≤2k-1），
则当n=k+1，Sk+1=
1
2
±
1
22
±
1
23
±…+
1
2k
±
1
2k+1
=Sk±
1
2k+1
=
2k+1Sk±1
2k+1
，
又Sk+1=
2k+1Sk±1
2k+1
=
2(2m-1)±1
2k+1
（m∈N*，m≤2k-1），
即Sk+1=
2×(2m-1)-1
2k+1
或Sk+1=
2×(2m)-1
2k+1
（m∈N*，m≤2k-1）
即Sk+1=
2m-1
2k+1
（m∈N*，m≤2k）∴n=k+1时，命题成立．
由①②，n∈N*，Sn所有可能值集合为{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．
点评：本题考查数学归纳法，着重考查对新数列概念的理解，考查推理、转化、抽象思维与创新思维的综合应用能力，属于难题．
练习册系列答案
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设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．
（1）求数列{an}的首项a1与递推关系式：an+1=f（an）；
（2）先阅读下面定理：“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{an-
B1-A
}是以A为公比的等比数列．”请你在第（1）题的基础上应用本定理，求数列{an}的通项公式；
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10、对于数列{an}（n∈N+，an∈N+），若bk为a1，a2，a3…ak中的最大值，则称数列{bn}为数列{an}的“凸值数列”．如数列2，1，3，7，5的“凸值数列”为2，2，3，7，7．由此定义可知，“凸值数列”为1，3，3，9，9的所有数列{an}个数为（　　）
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对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列an的“差数列”若a1=1，{an}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{an}的通项公式an=（　　）
对于数列{an}，“an，an+1，an+2（n=1，2，3…）成等比数列”是“
a
2
n+1
=anan+2”的（　　）

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