对于数列{An}:A1.A2.A3.-.An.若不改变A1.仅改变A2.A3.-.An中部分项的符号.得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1.2.3.4.5的第二.三项的符号可以得到一个生成数列1.-2.-3.4.5．已知数列{an}为数列{12n}(n∈N*)的生成数列.Sn为数列{an}的前n项和．(1)写出S3的所有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对于数列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改变A₁，仅改变A₂，A₃，…，A_n中部分项的符号，得到的新数列{a_n}称为数列{A_n}的一个生成数列．如仅改变数列1，2，3，4，5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1，-2，-3，4，5．已知数列{a_n}为数列{

}(n∈N*)的生成数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）写出S₃的所有可能值；
（2）若生成数列{a_n}满足：S3n=

(1-

)，求{a_n}的通项公式；
（3）证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为：{x|x=

2m-1

，m∈N*，m≤2n-1}．

分析：（1）根据生成数列的定义，可知当n=3时，a1=

，a₂、a₃分别在±

、±

中取值．由此给出{a_n}的所有可能的情况，即可算出S₃的所有可能值；
（2）根据{a_n}的前3n项和与通项的关系式，可得当n=1时S3=

，当n≥2时a_3n-2+a_3n-1+a_3n=S_3n-S_3n-3=

．由a_3n-2、a_3n-1、a_3n的8种组合加以推断，可得：当且仅当a3n-2=

、a3n-1=-

且a3n=-

时，以上相等关系可以成立．由此即可得到满足条件的{a_n}的通项公式；
（3）利用数学归纳法证明：①当n=1时命题成立；②假设n=k（k∈N^*）时，S_k=

2m-1

(m∈N*，m≤2k-1)，则当n=k+1时，Sk+1=Sk±

2k+1

2k+1Sk±1

2k+1

2(2m-1)±1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1），从而证出Sk+1=

2m-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k），即由n=k时命题成立可推出n=k+1时命题也成立．根据以上两点，可以推断出原命题成立．

解答：解：（1）由题意，得a1=

，|an|=

(n∈N*，n≥2)，
∴根据生成数列的定义，可得a2=±

，a3=±

．
又∵

，

，
∴为

，

．
（2）∵S3n=

(1-

)，
当n=1时，a1+a2+a3=S3=

(1-

，
当n≥2时，a3n-2+a3n-1+a3n=S3n-S3n-3=

(1-

8n-1

∵{a_n}是{

}(n∈N*)的生成数列
∴a3n-2=±

23n-2

，a3n-1=±

23n-1

，a3n=±

23n

；
可得a3n-2+a3n-1+a3n=±

23n-2

23n-1

23n

(±4±2±1)=

(n∈N*)，
在以上各种组合中，当且仅当a3n-2=

，a3n-1=-

，a3n=-

(n∈N*)时，相等关系成立．
∴an=

，n=3k-2

，n≠3k-2

，k∈N*．
（3）利用数学归纳法证明：
①n=1时，S1=

，命题成立．
②假设n=k（k∈N^*）时命题成立，即S_k所有可能值集合为：{x|x=

2m-1

，m∈N*，m≤2k-1}
由假设得S_k=

2m-1

(m∈N*，m≤2k-1)…（13分）
则当n=k+1时，Sk+1=

±…±

2k+1

=Sk±

2k+1

2k+1Sk±1

2k+1

Sk+1=

2k+1Sk±1

2k+1

2(2m-1)±1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1）…（15分）
即Sk+1=

2×(2m-1)-1

2k+1

或Sk+1=

2×(2m)-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k-1）
即Sk+1=

2m-1

2k+1

（m∈N^*，m≤2^k）∴n=k+1时，命题成立 …（17分）
由①②，n∈N^*，S_n所有可能值集合为{x|x=

2m-1

，m∈N*，m≤2n-1}．

点评：本题给出数列{A_n}的生成数列{a_n}的定义，求S₃的可能值并证明S_n的所有可能值组成的集合．着重考查了数列的通项与求和公式、等比数列的通项公式与前n项和公式、利用数学归纳法证明与正整数n有关的命题等知识，属于难题．同时考查了学生的计算能力、逻辑推理能力与分析问题、解决问题的能力，考查了转化化归与分类讨论的数学思想的运用，是一道综合性较强的试题．