题目内容
【题目】
已知函数
有极值,且函数
的极值点是
的极值点,其中
是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)
(1)求关于
的函数关系式;
(2)当时,若函数
的最小值为
,证明:
.
【答案】(1),
(2)见解析
【解析】
试题(1)先分别求两函数极值点,再根据条件得关于
的函数关系式;最后求自变量取值范围(2)先研究
导函数零点情况,仅有一个零点,再根据导函数符号变化规律确定最小值,最后再利用导数求最小值函数单调性,根据单调性证明不等式
试题解析:(1)因为
,令
,解得
.
列表如下.
极小值 |
所以时,
取得极小值.
因为,
由题意可知,且
所以,
化简得,
由
,得
.
所以,
.
(2)因为
,
所以
记,则
,令
,解得
.
列表如下.
极小值 |
所以时,
取得极小值,也是最小值,
此时,
.
令,解得
.
列表如下.
极小值 |
所以时,
取得极小值,也是最小值.
所以
.
令,则
,
记
,
,
则,
.
因为,
,所以
,所以
单调递增.
所以,所以
.
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