题目内容
【题目】已知函数
(Ⅰ)讨论函数在
上的单调性;
(Ⅱ)证明:恒成立.
【答案】(1),当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.(2)见解析
【解析】
(1)求出(
),通过当
时,当
时,判断导函数的符号,推出函数的单调区间即可.
证法二:记函数,通过导数研究函数
的性质,
,问题得证.
(Ⅰ) (
),
当时,
恒成立,所以,
在
上单调递增;
当时,令
,得到
,所以,当
时,
,
单调递增,当
时,
,
单调递减.
综上所述,当时,
在
上单调递增;当
时,
在
上单调递增,在
上单调递减.
(Ⅱ)证法一:由(Ⅰ)可知,当时,
,
特别地,取,有
,即
,所以
(当且仅当
时等号成立),
因此,要证恒成立,只要证明
在
上恒成立即可,
设(
),则
,
当时,
,
单调递减,当
时,
,
单调递增.
所以,当时,
,即
在
上恒成立.
因此,有,又因为两个等号不能同时成立,所以有
恒成立.
证法二:记函数,
则,可知
在
上单调递增,又由
知,
在
上有唯一实根
,且
,则
,即
(*),
当时,
单调递减;当
时,
单调递增,
所以,结合(*)式
,知
,
所以,
则,即
,所以有
恒成立.
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(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 |
k0 | 3.841 | 6.635 |
A. 12B. 6C. 10D. 18