Question

已知函数f（x）=px--2lnx。
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（3）设函数，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）>g（x₀）成立，求实数p的取值范围。

Answer 1

解：（1）当p=2时，函数
f（1）=2-2-2ln1=0，f'（x）=
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即y=2x-2。
（2）
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
由题意p>0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
∴
只需
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）。
（3）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=2
x=1时，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]
①当p＜0时，h（x）=px²-2x+p其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，
且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈ [1，e]内是减函数，
当p=0时，h（x）=-2x
因为x∈[1，e]，
所以h（x）＜0，
此时，f（x）在x∈[1，e]内是减函数，
故当p≤0时，f（x）在x∈[1，e]上单调递减=f（1）=0＜2，不合题意；
②当0＜p＜1时，x∈[1，e]
所以f（x）=
又由（2）知当p=1时f（x）在 x∈[1，e]上是增函数，
∴
不合题意；
③当p≥1时，由（2）知f（x）在x∈[1，e]上是增函数
f（1）= 0＜2
又g（x）在x∈[1，e]上是减函数，
故只需f（x）_max>g（x）_min，x∈[1，e]，
而
g（x）_min=2，即
解得
所以实数p的取值范围是。