题目内容
已知双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于 B、C 两点，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求双曲线的方程；
（2）过F的直线l交双曲线左支D点，右支E点，P为DE的中点，若以AF为直径的圆恰好经过P点，求直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求双曲线的方程；
（2）过F的直线l交双曲线左支D点，右支E点，P为DE的中点，若以AF为直径的圆恰好经过P点，求直线l的方程．
分析：（1）由已知易得a+c=6，2×
=6，解出a，b，c值后，可得双曲线的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x2-y2=3，利用韦达定理，结合向量垂直的充要条件，可求出k值，进而得到直线l的方程．本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．
| c2-a2 |
| a |
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x2-y2=3，利用韦达定理，结合向量垂直的充要条件，可求出k值，进而得到直线l的方程．本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．
解答：解 （1）∵AB⊥AC，BC⊥x轴，|BC|=6，
∴AF=a+c=6，
直线BC：x=c，代入
-
=1，得：y2=
，B（c，
），C（c，-
）．
∴
∴a=1，c=2，从而b2=3
所求双曲线的方程为x2-
=1．
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x2-y2=3，得：（3-k2） x2+4k2x-4k2-3=0D（x1，y1），E（x2，y2）由题意x1x2=
＜0，∴-
＜k＜
x1+x2=
，y1+y2=k（x1+x2）-4 k=
∵P为DE的中点，∴P（
，
），A（-1，0），F（2，0）
又∵以AF为直径的圆恰好经过P点，∴
•
=0
（
+1，
）（
-2，
）=0，
（
+1）（
-2）+（
）2=0，化简得54k2=18，k=±
此时直线l的方程y=±
（x-2）．
∴AF=a+c=6，
直线BC：x=c，代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| (c2-a2)2 |
| a2 |
| c2-a2 |
| a |
| c2-a2 |
| a |
∴
|
∴a=1，c=2，从而b2=3
所求双曲线的方程为x2-
| y2 |
| 3 |
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x2-y2=3，得：（3-k2） x2+4k2x-4k2-3=0D（x1，y1），E（x2，y2）由题意x1x2=
| -4k2-3 |
| 3-k2 |
| 3 |
| 3 |
x1+x2=
| -4k2 |
| 3-k2 |
| -12k |
| 3-k2 |
∵P为DE的中点，∴P（
| -2k2 |
| 3-k2 |
| -6k |
| 3-k2 |
又∵以AF为直径的圆恰好经过P点，∴
| AP |
| FP |
（
| -2k2 |
| 3-k2 |
| -6k |
| 3-k2 |
| -2k2 |
| 3-k2 |
| -6k |
| 3-k2 |
（
| -2k2 |
| 3-k2 |
| -2k2 |
| 3-k2 |
| -6k |
| 3-k2 |
| ||
| 3 |
此时直线l的方程y=±
| ||
| 3 |
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．
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