题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,过点的直线l与抛物线
交于A,B两点,以AB为直径作圆,记为
,
与抛物线C的准线始终相切.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N,求的取值范围.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)过A,B,M分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为D,E,P,由题意转化条件得,即可得A,B,F三点共线,即可得解;
(2)设直线,联立方程可得
、
、
,利用弦长公式可得
,利用点到直线的距离求得高,表示出三角形面积后即可得解.
(1)证明:过A,B,M分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为D,E,P,
设抛物线焦点为F,
由题意知圆M的半径,
且,
即可得,所以A,B,F三点共线,即
,所以
,
所以抛物线C的方程为;
(2)由(1)知抛物线,设直线
,点
,
,
联立可得:,
,
所以,
,
所以,
则,
,
故点N到直线AB距离
又
,
所以,
当时,
取最小值为32.
故所求三角形面积的取值范围
.
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