Question

【题目】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC= （acosB+bcosA）．
（1）求角C；
（2）若c=2 ，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：ctanC= （acosB+bcosA），

由正弦定理可得：sinCtanC= （sinAcosB+sinBcosA）= sin（A+B）= sinC．

∴tanC= ，C∈（0，π）．

∴C= ．

（2）解：由余弦定理可得：12=c2=a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab=ab，

可得ab≤12，当且仅当a=2 时取等号．

∴△ABC面积的最大值= =3 ．

【解析】（1）利用正弦定理与和差公式即可得出．（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．