题目内容

已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{cn}中，若ci•ci+1＜0，则称ci，ci+1为这个数列{cn}一对变号项．令cn=1-
aan
（n为正整数），求数列{cn}的变号项的对数．
分析：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素可得△=a2-4a=0，所以a=0或a=4，又在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，所以a=4．
（2）由当n≥2时，an=Sn-Sn-1可得an=2n-5，但是必须检验当n=1时，a1=S1=1也符合上式，∴an=
1，n=1
2n-5，n≥2
．
（3）方法一是通过数列{cn}的单调性解答即cn+1-cn=
8
(2n-5)(2n-3)
的单调性．
方法二解不等式
2i-9
2i-5
2i-7
2i-3
＜0找出数列{cn}的变号项的对数．
解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a2-4a=0得a=0或a=4，
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．
综上：a=4，f（x）=x2-4x+4．
（2）由（1）可知：Sn=n2-4n+4．当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5，
∴an=
1，n=1
2n-5，n≥2

（3）法一：由题设cn=
-3n=1
1-
4
2n-5
n≥2
，
∵当n≥2时，cn+1-cn=
4
2n-5
-
4
2n-3
=
8
(2n-5)(2n-3)
，
∴当n≥3时，数列{cn}递增，∵c3=-3＜0，又由cn=1-
4
2n-5
≥0，得n≥5，
可知c4•c5＜0，即n≥3时，有且只有一对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处有2对变号项．
综上可得：数列{cn}的变号项有3对．
法二：当i≥2时，ci=1-
4
2i-5
=
2i-9
2i-5
，
∵ci•ci+1＜0，∴
2i-9
2i-5
•
2i-7
2i-3
＜0，
∴
3
2
＜i＜
5
2
或
7
2
＜i＜
9
2
，∵i≥2，i∈N*，∴i=2或4，
即c2•c3＜0，c4•c5＜0，此处有2对变号项，
又∵c1=-3，c2=5，即c1•c2＜0，此处有一对变号项，
综上可得：数列{cn}的共有3对变号项．
点评：.本题考查数列的性质与函数的性质相结合的知识点，一般是单调性，最值等性质的结合，数列与函数相结合问题是高考考查的重点内容．
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