题目内容
【题目】如图,已知正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且 =
.
(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;
(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
【答案】
(1)解:设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点,
,
,
方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.
则A(1,﹣1,0),B(1,1,0),C(﹣1,1,0),D(﹣1,﹣1,0),…(2分)
设P(0,0,p),则 =(﹣1,1,p),又AP=2,
∴1+1+p2=4,∴p= ,
∵ =
=
=(
),
=(
),
∴ =(﹣1,1,﹣
),
=(0,
,﹣
),
设异面直线MN与PC所成角为θ,
则cosθ= =
=
.
θ=30°,
∴异面直线MN与PC所成角为30°
(2)解: =(﹣1,1,﹣
),
=(1,1,﹣
),
=(
,
,﹣
),
设平面PBC的法向量 =(x,y,z),
则 ,取z=1,得
=(0,
,1),
设平面PNC的法向量 =(a,b,c),
则 ,取c=1,得
=(
,2
,1),
设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ,
则cosθ= =
=
.
∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .
【解析】(1)设AC与BD的交点为O,AB=PA=2.以点O为坐标原点, ,
,
方向分别是x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量,利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.
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