题目内容
7.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=$\sqrt{3}$csinA-acosC.(1)求角C;
(2)若c=2,△ABC的面积为$\sqrt{3}$,求a,b.
分析 (1)由正弦定理化简已知可得:sinA=$\sqrt{3}$sinCsinA-sinAcosC,由sinA≠0,可得:2sin(C-$\frac{π}{6}$)=1,结合范围0<C<π,-$\frac{π}{6}$<C-$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,即可解得C的值.
(2)由余弦定理可得:4=(a+b)2-3ab,①,由△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab,解得:ab=4,②,由①②即可解得:a=b=2.
解答 解:(1)∵a=$\sqrt{3}$csinA-acosC.
∴由正弦定理可得:sinA=$\sqrt{3}$sinCsinA-sinAcosC,
∵sinA≠0,
∴1=$\sqrt{3}$sinC-cosC,可得:2sin(C-$\frac{π}{6}$)=1,
∵0<C<π,-$\frac{π}{6}$<C-$\frac{π}{6}$<$\frac{5π}{6}$,
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$,解得:C=$\frac{π}{3}$.
(2)∵c=2,
∴由余弦定理可得:4=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,①,
∵△ABC的面积为$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab,解得:ab=4,②
∴由①②解得:a=b=2.
点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键,属于中档题.
练习册系列答案
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