Question

已知函数f(x)=为R上的奇函数.

(1)求f(x)及f^-1(x)的解析式;

(2)若当x∈(-1,1)时,不等式f^-1(x)≥log₂恒成立,试求m的取值范围.

Answer 1

思路解析：首先根据奇函数的性质求出待定系数a的值,从而求出函数f(x)的解析式.进而求出其反函数的解析式.对于第(2)题,根据已知条件把时间转化为关于m的不等式即可解决.

解：(1)∵f(x)= 是奇函数,

∴f(x)+f(-x)=0,

即+=+=a-1=0,

∴a=1.

∴f(x)=.

设y=,则(2^x+1)y=2^x-1,

∴2^x=,x=log₂.

令＞0得-1＜y＜1,

∴f(x)的反函数为y=f^-1(x)=log₂,x∈(-1,1).

(2)∵当x∈(-1,1)时,f^-1(x)≥log₂恒成立,

即log₂≥log₂,

∴≥.

∵x∈(-1,1),∴1+x＞0,1-x＞0,m＞0,

∴m≥1-x,当x∈(-1,1)时,1-x的取值集合为(0,2),

∴m≥2.