题目内容
【题目】设函数f(x)=ex(3x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若有且只有一个整数x0使得f(x0)≤0,则a的取值范
围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:设g(x)=ex(3x﹣1),h(x)=ax﹣a,则g′(x)=ex(3x+2),
∴x∈(﹣∞,﹣ ),g′(x)<0,g(x)单调递减,
x∈(﹣ ,+∞),g′(x)>0,g(x)单调递增,
∴x=﹣ ,取最小值﹣3e﹣ ,
∴g(0)=﹣1<﹣a=h(0),
g(1)﹣h(1)=2e>0,
直线h(x)=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a,
∴g(﹣1)﹣h(﹣1)=﹣4e﹣1+2a≥0,
∴a≥ ,
a<1,
∴a的取值范围[ ,1).
故选:D.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题.
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