Question

已知函数f(x)=

1+x

+

1-x

．（1）求函数f（x）的值域；（2）设F(x)=m

1-x2

+f(x)，记F（x）的最大值为g（m），求g（m）的表达式．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的定义域，求出f（x）²的取值范围，再由f（x）≥0，求得f（x）的值域．
（2）设f（x）=t，g（m）即为函数h(t)=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]的最大值．分m＞0、m=0、m＜0三种情况，结合函数的图象特征，利用函数的单调性求出g（m）的表达式．

解答：解：（1）要使f（x）有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，∵[f(x)]2=2+2

1-x2

∈[2，4]，f（x）≥0，∴f（x）的值域是[

2

，2]．
（2）设f（x）=t，则

1-x2

=

1

2

t2-1，∴F(x)=m(

1

2

t2-1)+t=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]．
由题意知g（m）即为函数h(t)=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]的最大值，
因为直线t=-

1

m

是抛物线h(t)=

1

2

mt2+t-m的对称轴，所以可分以下几种情况进行讨论：
①当m＞0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

m

＜0知h（t）在[

2

，2]上单调递增，故g（m）=h（2）=m+2．
②当m=0时，h（t）=t在[

2

，2]上单调递增，有g（m）=h（2）=m+2=2．
③当m＜0时，函数y=h(t)，t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
若t=-

1

m

∈(0，

2

]，即m≤-

2

2

时，g(m)=h(

2

)=

2

．
若t=-

1

m

∈(

2

，2]，即m∈(-

2

2

，-

1

2

]时，g(m)=h(-

1

m

)=-m-

1

2m

，
若t=-

1

m

∈(2，+∞)，即m∈(-

1

2

，0)时，g（m）=h（2）=m+2，
综上所述，g(m)=

m+2，m＞- 1 2 -m- 1 2m ，- 2 2 ＜m≤- 1 2 2 ，m≤- 2 2 .

．

点评：本题主要考查求函数的值域，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．