题目内容
【题目】如图,已知抛物线的焦点为
,椭圆
的中心在原点,
为其右焦点,点
为曲线
和
在第一象限的交点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设为抛物线
上的两个动点,且使得线段
的中点
在直线
上,
为定点,求
面积的最大值.
【答案】(1)椭圆的标准方程为
; (2)
面积的最大值为
.
【解析】
试题分析:(1)由已知得,跟据抛物线定义,得
,所以点
;据椭圆定义,得
.
所以椭圆的标准方式是
.(2)因为
为线段
的中点,得直线
的方程为
;联立
,得
,由弦长公式
和点
到直线
的距离,得
.
再根据函数的单调性得面积的最大值为
.
试题解析:(1)设椭圆的方程为
,半焦距为
.
由已知,点,则
.
设点,据抛物线定义,得
.由已知,
,则
.
从而,所以点
.
设点为椭圆的左焦点,则
,
.
据椭圆定义,得,则
.
从而,所以椭圆
的标准方式是
.
(2)设点,
,
,则
.
两式相减,得,即
.因为
为线段
的中点,则
.
所以直线的斜率
.
从而直线的方程为
,即
.
联立,得
,则
.
所以.
设点到直线
的距离为
,则
.
所以.
由,得
.令
,则
.
设,则
.
由,得
.从而
在
上是增函数,在
上是减函数,
所以,故
面积的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试,为了考察高中学生的身体素质比情况,现抽取了某校1000名(男生800名,女生200名)学生的测试成绩,根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析,得到如下统计图表:
男生测试情况:
抽样情况 | 病残免试 | 不合格 | 合格 | 良好 | 优秀 |
人数 | 5 | 10 | 15 | 47 |
女生测试情况
抽样情况 | 病残免试 | 不合格 | 合格 | 良好 | 优秀 |
人数 | 2 | 3 | 10 | 2 |
(1)现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生,求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率;
(2)若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”,其它等级的学生(含病残免试)为“非体育达人”,根据以上统计数据填写下面列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关?
男性 | 女性 | 总计 | |
体育达人 | |||
非体育达人 | |||
总计 |
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
附:( ,其中
)