题目内容
【题目】设函数
的定义域为
，如果存在非零常数
，对于任意
，都有
，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为
，那么它是周期为
的周期函数；
②函数
是“似周期函数”；
③函数
是“似周期函数”；
④如果函数
是“似周期函数”，那么“
，
”.
其中是真命题的序号是___________.（写出所有满足条件的命题序号）
【答案】①④.
【解析】
①由题意知
，从而可得
；
②由
得
恒成立；从而可判断；
③由
得
恒成立；从而可判断；
④由得
恒成立；即
恒成立，从而可得
，从而解得结果.
解：①
“似周期函数”
的“似周期”为
，
，
，
故它是周期为
的周期函数，故正确；
②若函数
是“似周期函数”，则，
即恒成立；
故
恒成立，
上式不可能恒成立；
故错误；
③若函数
是“似周期函数”，则，
即恒成立；
故
成立，无解；故错误；
④若函数
是“似周期函数”，则，
即恒成立；
故
恒成立；
即恒成立，
故，则
，
故
，
；故正确；
故答案为：①④.
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