题目内容

已知圆C:x2+y2-2x-4y-20=0,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,m∈R.
(I)直线l是否过定点,有则求出来?判断直线与圆的位置关系及理由?
(II)求直线被圆C截得的弦长L的取值范围及L最短时弦所在直线的方程.
分析:(I)直线l即 (x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由
x+y-4=0
2x+y-7=0
求得直线过定点A(3,1).再由|AC|=
4+1
,小于半径,可得点A在圆内,故直线和圆相交.
(II)当直线l过圆心时,弦长L最大为直径10,当CA和直线l垂直时,弦长L最小为 4
5
,由此可得直线被圆C截得的弦长L的取值范围.当弦长L最小时,求得AC的斜率KAC,可得直线l的斜率,再由点斜式求得直线l的方程.
解答:解:(I)直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 即 (x+y-4)+m(2x+y-7)=0,由
x+y-4=0
2x+y-7=0
 求得
x=3
y=1
,故直线过定点A(3,1).
再由圆C:x2+y2-2x-4y-20=0,即 (x-1)2+(y-2)2=25,表示以C(1,2)为圆心,以5为半径的圆,而|AC|=
4+1
,小于半径,
故点A在圆内,故直线和圆相交.
(II)当直线l过圆心时,弦长L最大为直径10,当CA和直线l垂直时,弦长L最小,为2
25-5
=4
5

故直线被圆C截得的弦长L的取值范围为[4
5
,10].
当弦长L最小时,AC的斜率KAC=
1-2
3-1
=-
1
2
,故直线l的斜率为2,故直线l的方程为 y-1=2(x-3),即 2x-y-5=0.
点评:本题主要考查直线过定点问题,直线和圆相交的性质,用点斜式求直线的方程,属于中档题.
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