Question

【题目】已知椭圆：的左焦点为，其左、右顶点为、，椭圆与轴正半轴的交点为，的外接圆的圆心在直线上.

（I）求椭圆的方程；

（II）已知直线：，是椭圆上的动点，，垂足为，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(I)；(II)或.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)求出的垂直平分线方程, 的垂直平分线的方程,从而可得的坐标,利用在直线上,结合,即可求得椭圆的方程；(Ⅱ)设,即,解得,(舍去).即可求得点的坐标.

试题解析：（I）由题意知,圆心既在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,

设的坐标为,则的垂直平分线方程为…①

因为的中点坐标为,的斜率为

所以的垂直平分线的方程为…②

联立①②解得: ,

即,

因为在直线上,所以………（4分）

即

因为,所以

再由求得

所以椭圆的方程为………（7分）

（II）若,即

解得,(显然不符合条件,舍去).

此时所以满足条件的点的坐标为.

综上,存在点或,使得为等腰三角形