Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题的序号有（　　）
①设A、B为两个定点，k为正常数，|PA|+|PB|=k，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④平面上到定点P及定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．

A．①②③④

B．①②③

C．②③

D．②③④

Answer 1

分析：根据椭圆的定义可判定①；焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）可判定②；求出二次方程的根，据椭圆、双曲线离心率的范围判定③．分类讨论，根据点F不在直线l上、点F在直线l上，即可判定④．

解答：解：根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；
双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0），∴②正确
方程2x²-5x+2=0的两根为

1

2

或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确
当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线，∴④不正确
故正确的是②③
故选C．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．