Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②以定点A为焦点，定直线l为准线的椭圆（A不在l上）有无数多个；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过原点O任做一直线，若与抛物线y²=3x，y²=7x分别交于A、B两点，则

OA

OB

为定值．
其中真命题的序号为

 

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：利用双曲线，椭圆的定义可确定①②，通过解方程可的③，利用直线与抛物线的关系求得A，B的坐标从而求得

OA

OB

，继而得答案．

解答：解：①由双曲线的定义可得，|

PA

|-|

PB

|=k，动点P的轨迹为双曲线的一支．②不对．
②以定点A为焦点，定直线l为准线的椭圆（A不在l上），离心率的值有无数个，故椭圆有无数多个；②对．
③方程2x²-5x+2=0的两根为：2，

1

2

，故可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③对
④设过原点O的直线方程为y=kx k≠0，A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂） 联立

y=kx y2=3x

，消去x，可得y₁=

3

k

，x₁=

3

k2

，同理可得y₂=

7

k

，x₂=

7

k2

∴

OA

OB

=

y1

y2

=

3

7

为定值．④对．
故答案为：②③④

点评：本题考查了椭圆，双曲线的定义，及圆锥曲线的共同特征---离心率，考查了学生的灵活把握定义及基础知识的能了，是个基础题．