Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线

x2

16

-

y2

9

=1与椭圆

x2

49

+

y2

24

=1有相同的焦点；
②在平面内，设A、B为两个定点，P为动点，且|PA|+|PB|=k，其中常数k为正实数，则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-3x+1=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④过双曲线x2-

y2

2

=1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有3条．
其中真命题的序号为

①④

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：根据双曲线、椭圆标准方程判断①；
根据定义判断②；
根据离心率的范围判断③；
根据直线与双曲线有两个交点．有与右支两个交点和左、右各一个交点两种情况，
利用通径长判断直线的条数即可．

解答：解：根据双曲线与椭圆的标准方程，双曲线与椭圆的焦点坐标都是（±5，0），①正确；
根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴②不正确；
解方程2x²-3x+1=0得两根分别是

1

2

，1，根据双曲线的离心率大于1，∴③不正确；
∵过右焦点垂直于x轴的直线与双曲线的右支的交点为（

3

，±2），|AB|=4，
∴与右支有两个交点时，直线只有一条；
∵2a=2，∴过右焦点与双曲线左、右支各一个交点时，满足|AB|=4，有两条直线k=±k₁，
∴④正确．
故答案是①④

点评：本题考查圆锥曲线的定义、标准方程、离心率及过焦点弦长问题．