Question

【题目】已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log （1﹣x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1）=f（﹣1）=﹣2；
（2）解：令x＞0，则﹣x＜0，

则f（﹣x）= （1+x）﹣x=f（x），

故x＞0时，f（x）= （1+x）﹣x，

故f（x）= ；

故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；

（3）解：若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，

lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，

lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，

故lga＞1或lga＜﹣1，

解得：a＞10或0＜a＜ ．

【解析】（1）根据函数的奇偶性求出f（1）即f（﹣1）的值即可；（2）令x＞0，得到﹣x＜0，根据函数的奇偶性求出f（x）的解析式，从而求出函数的单调区间即可；（3）问题转化为f（lga）＜﹣2，得到关于a的不等式，解出即可．
【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．