题目内容

设直线2x-y+1=0与椭圆
x2
3
+
y2
4
=1
相交于A、B两点.
(1)线段AB中点M的坐标及线段AB的长;
(2)已知椭圆具有性质:设A、B是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
上的任意两点,M是线段AB的中点,若直线AB、OM的斜率都存在,并记为kAB,kOM,则kAB?kOM为定值.试对双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
写出具有类似特性的性质,并加以证明.
(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则
2x-y+1=0
x2
3
+
y2
4
=1
?
4
3
x2+x-
3
4
=0
?
x1+x2=-
3
4
x1x2=-
9
16
(2分)
所以M(-
3
8
1
4
)

|AB|=
1+22
x1-x2|
=
5
(x1+x2)2-4x1x2
=
15
4

(2)设A、B是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
上的任意两点,M是线段AB的中点,若直线AB、OM的斜率都存在,并记为kAB,kOM,则kAB?kOM为定值.
证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),分别代入双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
,再相减后可得:
1
a2
(x1+x2)(x1-x2)
-
1
b2
(y1+y2)(y1-y2)
=0
设M(x0,y0),则
x1+x2=2x0
y1+y2=2y0
,代入上式可得
y1-y2
x1-x2
=
b2
a2
×
x0
y0

即kAB?kOM=
b2
a2

∴定值为
b2
a2
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