Question

（2004•宝山区一模）设直线2x-y+1=0与椭圆

x2

3

+

y2

4

=1相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）欲求线段AB中点M的坐标，只需求出A，B横坐标之和，纵坐标之和，再用中点坐标公式计算即可．把直线2x-y+1=0代入椭圆

x2

3

+

y2

4

=1中，利用韦达定理，求出x₁+x₂，x₁x₂，可得M点坐标．再用弦长公式，可求线段AB的长
（2）涉及中点弦问题，也可使用点差法解决，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入双曲线方程作差即可得直线斜率与中点原点连线斜率之间的关系

解答：解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

2x-y+1=0 x2 3 + y2 4 =1

⇒

4

3

x2+x-

3

4

=0⇒

x1+x2=- 3 4 x1x2=- 9 16

（2分）
所以M(-

3

8

，

1

4

)
|AB|=

1+22

| x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

（2）设A、B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．
证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分别代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，再相减后可得：

1

a2

(x1+x2)(x1-x2)-

1

b2

(y1+y2)(y1-y2)=0
设M（x₀，y₀），则

x1+x2=2x0 y1+y2=2y0

，代入上式可得

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

×

x0

y0

即k_AB?k_OM=

b2

a2

∴定值为

b2

a2

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系，特别是当直线与曲线相交并且与弦的中点有关时，可以使用联立方程组的办法，也可采用点差法，但要认证体会两种方法的局限性