Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+1（x∈R），（a，b为实数）．
（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若关于x方程|f（x+1）﹣1|=m|x﹣1|只有一个实数解，求实数m的取值范围；
（3）在（1）的条件下，求函数h（x）=2f（x+1）+x|x﹣m|+2m最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：显然a≠0∵f（1）=0∴a+b+1=0

∵x∈R，且f（x）的值域为[0，+∞）

∴△=b2﹣4a=0

由

（2）解：方程|f（x+1）﹣1|=g（x），即|x2﹣1|=m|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣m）=0，

显然，x=1已是该方程的根，…（6分）

欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m，有且仅有一个等于1的解或无解，

解得m＜0

（3）解：①当x≥m时，h（x）=3x2﹣mx+2m

（I）如果m≥0， ；

（II）如果m＜0， ；

②当x≤m时，f（x）=x2+mx+2m

（I）如果m≥0，

（II）如果m＜0，

由于2m2+2m﹣

所以

【解析】（1）利用f（1）=0得到a+b+1=0，f（x）的值域为[0，+∞），推出△=b2﹣4a=0，求出a，b，即可得到函数的解析式．（2）方程|f（x+1）﹣1|=g（x），化为|x﹣1|（|x+1|﹣m）=0，原方程只有一解，即方程|x+1|=m，有且仅有一个等于1的解或无解，求解即可．（3）①当x≥m时，h（x）=3x2﹣mx+2m，通过m≥0，m＜0，求出最小值，②当x≤m时，f（x）=x2+mx+2m
通过m≥0，m＜0，求出最小值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值，以及对二次函数的性质的理解，了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．