Question

已知函数f（x）=e^x+ax+b．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）当a=-e²时，若f（x）在R上有2个零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f（x）得到其定义域，由于其导数大于0时在定义域内恒成立，即可判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）利用函数在定义域内的单调性和最值研究零点的个数，对f（x）求导，找到单调区间，确定最小值，要使函数f（x）在R上有2个零点，则只需f(x)最小=-e2+b＜0，即可得到b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+ax+b可知，函数的定义域为R
又f'（x）=e^x+a，所以当a＞0时，e^x+a＞0
从而f'（x）=e^x+a＞0在定义域内恒成立．
所以，当a＞0时，函数f（x）=e^x+ax+b在定义域内为增函数．
（Ⅱ）当a=-e²时，f（x）=e^x-e²x+b
所以f'（x）=e^x-e²，由f'（x）＞0可得e^x-e²＞0解得x＞2
由f'（x）＜0可得e^x-e²＜0解得x＜2，所以f（x）在区间（-∞，2]上为减函数
在区间（2，+∞）上为增函数，所以函数f（x）在R上有唯一的极小值点x=2
也是函数的最小值点，所以函数的最小值为f(x)最小=f(2)=e2-2e2+b=-e2+b
要使函数f（x）在R上有2个零点，则只需f(x)最小=-e2+b＜0，即b＜e²
所以实数b的取值范围为（-∞，e²）

点评：利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．