题目内容
【题目】已知椭圆(
为参数),存在一条直线,使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于
,求直线方程_____.
【答案】
【解析】
先判断出椭圆 (
为参数)表示中心在直线
上,长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆,判断出符合条件的直线需要与直线
平行,设出直线方程,先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程,再证明对于所有的椭圆都满足条件.
解:椭圆 (
为参数)可化为
,
所以表示中心在直线
上,长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆,而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交,
若所求的直线与直线
不平行,则必定存在椭圆与直线
不相交,
于是,设所求直线的方程为,
因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于,则直线
与椭圆
所得到弦长为
,设弦的两端点为
,
,
由得
,所以
,
,
所以,即
,
解得,
设直线与椭圆
(
为参数),相交所得的弦长为
,弦的两端点为:
,
,
则由得
,
所以,
,
因此
所以直线与椭圆
(
为参数)相交所得的弦长为
.
同理可证,对任意,椭圆
(
为参数)与直线
相交所得弦长为
.
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