题目内容
【题目】已知椭圆
(
为参数),存在一条直线,使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于
,求直线方程_____.
【答案】
【解析】
先判断出椭圆
(
为参数)表示中心在直线
上，长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆，判断出符合条件的直线需要与直线平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，再证明对于所有的椭圆都满足条件.
解:椭圆 (为参数)可化为
，
所以表示中心在直线上,长轴长和短轴长分别为4,2的一组椭圆，而所求的直线与这组椭圆种的任意椭圆都相交，
若所求的直线
与直线不平行，则必定存在椭圆与直线不相交，
于是，设所求直线的方程为
，
因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于，则直线与椭圆
所得到弦长为，设弦的两端点为
，
，
由
得
，所以
，
，
所以
，即
，
解得
，
设直线
与椭圆 (为参数)，相交所得的弦长为
，弦的两端点为：
，
，
则由
得
，
所以
，
，
因此
所以直线与椭圆 (为参数)相交所得的弦长为.
同理可证,对任意
,椭圆 (为参数)与直线
相交所得弦长为.
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