Question

17．|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，设$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，试求tanθ的值．

Answer 1

分析 根据两个向量垂直写出两个向量的数量积为0，整理出要的结果是两个向量的数量积是1，这两个向量的夹角的余弦就可以通过用两个向量的数量积除以两个向量的模长的积表示．根据角的范围得到结果．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，设$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，不妨设$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1）．
$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$=（2，-4），$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（2，2）．
则cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{4-8}{\sqrt{{2}^{2}+{（-4）}^{2}}•\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{-4}{4\sqrt{10}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
sinθ=$\sqrt{1-{cos}^{2}θ}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
tanθ=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{-\frac{\sqrt{10}}{10}}$=-3．

点评 本题考查两个向量的数量积来表示两个向量的夹角，解决本题要注意的是求出两个向量的夹角的余弦值以后，注意写出夹角的范围，从而得到结果．