Question

如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知该四棱锥底面边长是2m，高是m，
（1）求侧棱与底面所成角；
（2）求制造这个塔顶需要多少铁板？

Answer 1

【答案】分析：（1）正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．可得SO⊥ABCD，∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角．
Rt△SOA中利用三角函数的定义，结合题中数据算出tan∠SAO=，即得侧棱与底面所成角等于arctan；
（2）作SP⊥AB于P，连接OP．Rt△SOP中，算出SP=2（m），可得△SAB的面积S=2（m²）．由此即可得到正四棱锥的侧面积，从而得到制造这个塔顶需要铁板的面积．
解答：解：（1）如图所示，设正四棱锥S-ABCD中，连结AC和BD交于O，连接SO．
∵SO⊥ABCD，可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影
∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角
Rt△SOA中，SO=m，AO=AB=m
∴tan∠SAO==
因此，∠SAO=arctan，即侧棱与底面所成角等于arctan；
（2）作SP⊥AB于P，连接OP．
∵在Rt△SOP中，SO=（m），OP=BC=1（m），
∴SP==2（m），
则△SAB的面积S=×AB×SP=×2×2=2（m²）．
∴四棱锥的侧面积是4×2=8（m²），
即制造这个塔顶需要8m²铁板．
点评：本题给出正四棱锥，求侧棱与底面所成角，并求制造这个塔顶需要铁板的面积．着重考查了正四棱锥的定义与性质、直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．