题目内容

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(1)求侧棱与底面所成角;
(2)求制造这个塔顶需要多少铁板?
分析:(1)正四棱锥S-ABCD中,连结AC和BD交于O,连接SO.可得SO⊥ABCD,∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角.
Rt△SOA中利用三角函数的定义,结合题中数据算出tan∠SAO=
,即得侧棱与底面所成角等于arctan
;
(2)作SP⊥AB于P,连接OP.Rt△SOP中,算出SP=2
(m),可得△SAB的面积S=2
(m2).由此即可得到正四棱锥的侧面积,从而得到制造这个塔顶需要铁板的面积.
Rt△SOA中利用三角函数的定义,结合题中数据算出tan∠SAO=
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(2)作SP⊥AB于P,连接OP.Rt△SOP中,算出SP=2
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解答:解:(1)如图所示,设正四棱锥S-ABCD中,连结AC和BD交于O,连接SO.
∵SO⊥ABCD,可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影
∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角
Rt△SOA中,SO=
m,AO=
AB=
m
∴tan∠SAO=
=
因此,∠SAO=arctan
,即侧棱与底面所成角等于arctan
;
(2)作SP⊥AB于P,连接OP.
∵在Rt△SOP中,SO=
(m),OP=
BC=1(m),
∴SP=
=2
(m),
则△SAB的面积S=
×AB×SP=
×2×2
=2
(m2).
∴四棱锥的侧面积是4×2
=8
(m2),
即制造这个塔顶需要8
m2铁板.

∵SO⊥ABCD,可得OA是侧棱SA在底面ABCD内的射影
∴∠SAO就是侧棱SA与底面ABCD内的所成角
Rt△SOA中,SO=
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∴tan∠SAO=
SO |
AO |
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因此,∠SAO=arctan
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(2)作SP⊥AB于P,连接OP.
∵在Rt△SOP中,SO=
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∴SP=
SO2+OP2 |
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则△SAB的面积S=
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∴四棱锥的侧面积是4×2
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即制造这个塔顶需要8
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点评:本题给出正四棱锥,求侧棱与底面所成角,并求制造这个塔顶需要铁板的面积.着重考查了正四棱锥的定义与性质、直线与平面所成角的求法等知识,属于中档题.

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