题目内容
【题目】设,数列
满足
,
.
(Ⅰ)当时,求证:数列
为等差数列并求
;
(Ⅱ)证明:对于一切正整数,
.
【答案】(1) ;证明见解析.
(2) 证明见解析.
【解析】分析:(1)先将原式变形:,
,从而
.故数列
是以
为首项,
为公差的等差数列.然后根据等差通项求解即可;(2)当
时,由
得:
,进而
,这说明数列
是以
为首项,
为公比的等比数列,故得到
的通项公式,然后根据分析法欲证
,只需证
,即证:
.
将变形结合基本不等式计算最值即可
详解:
(Ⅰ)
,
,从而
. 显然
,所以数列
是以
为首项,
为公差的等差数列.
于是,,
.
(Ⅱ)证明:①当时,不等式显然成立;
②当时,由
得:
,进而
,这说明数列
是以
为首项,
为公比的等比数列,于是
.
欲证,只需证
,即证:
.
.
原不等式成立.
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