Question

9．已知函数f（x）=sinx+2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$，设a=f（$\frac{π}{7}$），b=f（$\frac{π}{6}$），c=f（$\frac{π}{3}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． b＜a＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\sqrt{3}$+2sin（x+$\frac{π}{3}$），代入化简可得a=$\sqrt{3}$+2sin$\frac{10π}{21}$，b=$\sqrt{3}$+2sin$\frac{π}{2}$，c=$\sqrt{3}+$2sin$\frac{7π}{21}$，由函数y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增可得答案．

解答 解：化简可得f（x）=sinx+2$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$
=sinx+$\sqrt{3}$（1+csox）=$\sqrt{3}$+sinx+$\sqrt{3}$cosx
=$\sqrt{3}$+2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∴a=f（$\frac{π}{7}$）=$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{π}{7}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$+2sin$\frac{10π}{21}$，
b=f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$+2sin$\frac{π}{2}$，
c=f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$+2sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$+2sin$\frac{14π}{21}$=$\sqrt{3}+$2sin$\frac{7π}{21}$，
由函数y=sinx在（0，$\frac{π}{2}$）单调递增可得sin$\frac{7π}{21}$＜sin$\frac{10π}{21}$＜sin$\frac{π}{2}$，
∴c＜a＜b，
故选：B．

点评 本题考查三角函数值的大小比较，涉及和差角的三角函数和三角函数的单调性，属中档题．